ΕΤΕΡΟΣ ΕΓΩ – ΦΙΛΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΕΤΕΡΟΣ ΕΓΩ – ΦΙΛΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

– Τι εστί φίλος;
– Έτερος εγώ.

Τι είναι φίλος; Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως το 220 με το 284.

Τι ενώνει άραγε τους αριθμούς 220 και 284; Οι αριθμοί αυτοί είναι φίλοι γιατί ο ένας καθρεφτίζεται μέσα στον άλλο.

Για να κατανοήσουμε την προαναφερθείσα σχέση ας υπολογίσουμε το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους.

Έχουμε:

• Οι γνήσιοι διαιρέτες του 220 είναι οι: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 και 110
• Όμοια του 284 είναι οι: 1, 2, 4, 71 και 142

Αν προσθέσουμε τους αντίστοιχους διαιρέτες των δύο αριθμών προκύπτει:

• Το άθροισμα διαιρετών 220 είναι: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
• Όμοια του 284 είναι: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του 220 ισούται με 284, ενώ το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του 284 ισούται με 220.

Δυο αριθμοί ονομάζονται φίλιοι, αν ο πρώτος ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του δεύτερου και αντίστροφα.

Αυτή η σχέση μεταξύ των αριθμών είναι ικανή για να θεωρήσουν οι Πυθαγόρειοι αυτούς τους αριθμούς ως “φίλιους”, δηλαδή ως “αγαπημένους”. 

Το ζευγάρι αυτών των αριθμών έλεγαν ότι αποτελεί σύμβολο φιλίας. Ο Μαρτίν Γκάρντνερ στο βιβλίο του Mathematical Magic Show αναφέρει ότι στο Μεσαίωνα πουλούσαν φυλακτά που είχαν χαραγμένους αυτούς τους αριθμούς και ευνοούσαν ερωτικά όποιον τα φορούσε.

Στο κλασικό βιβλίο του Oystein Ore ”Η θεωρία αριθμών και η ιστορία της” , ο συγγραφέας αναφέρει: “Σε πολλά αραβικά κείμενα εμφανίζονται συχνότατα οι φίλιοι αριθμοί. Παίζουν κεντρικό ρόλο στην μαγεία και στην αστρολογία, στην σύνταξη των ωροσκοπίων, στην παρασκευή ερωτικών φίλτρων και στην κατασκευή φυλακτών”.

Υπάρχει σαφής αναφορά για το έθιμο να σκαλίζουν τον αριθμό 220 πάνω σε ένα μήλο (τυχαία επιλογή φρούτου;) και το 284 σε έναν άλλο, να τρώνε ύστερα το πρώτο και να προσφέρουν το δεύτερο στο αγαπημένο τους πρόσωπο ως ένα είδος μαθηματικού αφροδισιακού.

Στο “Θεώρημα του παπαγάλου”, του Ντενί Γκετζ, εκδόσεις Πόλις υπάρχει το απόσπασμα “Με την ευκαιρία, σου είπα τι με είχε «τραβήξει» στον Πυθαγόρα; Αυτός ανακάλυψε τη λέξη φιλία. Το ήξερες; Όταν τον ρώτησαν τι είναι φίλος, απάντησε: «Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως το 220 και το 284». Δύο αριθμοί είναι «φίλιοι» ή «φιλικοί», αν ο καθένας ισούται με το άθροισμα όσων μετρούν (δηλαδή διαιρούν) τον άλλο. Οι πιο διάσημοι φίλιοι αριθμοί του Πυθαγόρειου Πανθέου είναι οι 220 και 284. Κάνουν ένα ταιριαστό ζευγάρι. Αν έχεις καιρό, επαλήθευσέ το. Και εμείς οι δύο, είμαστε «φίλιοι»; Τι σε μετρά, Πιέρ; Κι εμένα; Ίσως ήρθε πια ο καιρός να προσθέσουμε όλα όσα μας μέτρησαν“.

Κάποιοι επίσης θεολόγοι των πρώιμων χρόνων σημείωσαν το γεγονός ότι στην γένεση ο Ιακώβ έδωσε 220 κατσίκια στον Ησαύ , πιστεύοντας ότι ο αριθμός αυτός, το μισό του φιλικού ζευγαριού, αποτελούσε έκφραση φιλίας του Ιακώβ προς τον Ησαύ.

Το 220 και το 284 δεν είναι οι μόνοι φίλιοι αριθμοί. 

Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416

Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος 9.363.584, 9.437.056

Ο Nicolò Paganini, το 1866 ανακάλυψε το ζεύγος 1.184, 1.210

Ο Leonhard Euler βρήκε 62 τέτοια ζεύγη φίλιων αριθμών

Τα ζεύγη των φίλιων αριθμών μέχρι το 100000 είναι: 

220	284
1184	1210
2620	2924
5020	5564
6232	6368
10744	10856
12285	14595
17296	18416
63020	76084
79750	88730