Κβαντική Θεωρία Χάρης Αναστόπουλος Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών

 Κβαντική Θεωρία Χάρης Αναστόπουλος Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών

 

Περιεχόμενα

1 Ο κλασικός κόσμος 1

1.1 Η Νευτώνεια θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Η Χαμιλτονιανή μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Κλασικός ηλεκτρομαγνητισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Θεωρία πιθανοτήτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Οι πιθανότητες στις φυσικές επιστήμες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Η μαθηματική περιγραφή της κλασικής φυσικής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Η γέννηση της κβαντικής θεωρίας A’ 21

2.1 Kβάντα ενέργειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Κβάντα φωτός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Το άτομο του Μπορ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Σωμάτιο η κύμα; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Η γέννηση της κβαντικής θεωρίας B’ 35

3.1 Οι πίνακες του Χάιζενμπεργκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Η κυματομηχανική του Σρέντινγκερ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Πιθανότητες και αβεβαιότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Η μεγάλη σύνθεση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Χώροι Χίλμπερτ και αρχή της επαλληλίας 55

4.1 Χώροι Χίλμπερτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Κβαντικές καταστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Η αρχή της επαλληλίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Μαθηματικές ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Φορμαλισμός Ντιράκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Τελεστές: I. Γενική θεωρία 75

5.1 Βασικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Είδη τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Συναρτήσεις τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4 Μεταθέτες τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5 Το φασματικό θεώρημα σε πεπερασμένες διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6 Το γενικό φασματικό θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.7 Ίχνος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.8 Η φυσική ερμηνεία των τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Τελεστές: ΙΙ. Εφαρμογές 105

6.1 Τελεστές σε κιούμπιτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2 Αρμονικός ταλαντωτής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3 Ο μονοδιάστατος τελεστής Σρέντινγκερ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4 Ο τελεστής Σρέντινγκερ με τμηματικά σταθερά δυναμικά . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.5 Δυναμικό συνάρτησης δέλτα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.6 Ο ρόλος των συνοριακών συνθηκών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.7 Τελεστής Σρέντινγκερ με περιοδικά δυναμικά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.8 Θεωρία διαταραχών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7 Κβαντικές πιθανότητες 141

7.1 Γενίκευση του κανόνα του Μπορν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2 Στατιστική μίξη και μήτρα πυκνότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3 Φυσική σημασία της κβαντικής κατάστασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4 Σχέσεις αβεβαιότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.5 Η συνάρτηση Βίγκνερ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.6 Συνδυασμός αποτελεσμάτων από διαφορετικά πειράματα . . . . . . . . . . . . . . . 163

8 Χρονική εξέλιξη 169

8.1 Ο κανόνας χρονικής εξέλιξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.2 Φυσική σημασία του κανόνα χρονικής εξέλιξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.3 Χρονική εξέλιξη σε απλά συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.4 Συστήματα με χρονοεξαρτημένη Χαμιλτονιανή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.5 Η αδιαβατική προσέγγιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9 Αναγωγή της κβαντικής κατάστασης 197

9.1 Κλασική αναγωγή της κατάστασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9.2 Κβαντική αναγωγή της κατάστασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

9.3 Ερμηνεία της αναγωγής της κβαντικής κατάστασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.4 Εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10 Σύνθετα κβαντικά συστήματα και εναγκαλισμός 215

10.1 Τανυστικό γινόμενο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.2 Κβαντική σύνθεση συστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.3 Σύστημα δύο κιούμπιτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.4 Το θεώρημα του Μπελ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

10.5 Εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

11 Συμμετρία στην κβαντική θεωρία: Ι. Περιστροφές 241

11.1 Η κβαντική περιγραφή των συμμετριών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

11.2 Η συμμετρία των περιστροφών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

11.3 Οι τελεστές της στροφορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.4 Τροχιακή στροφορμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.5 Σύνθεση στροφορμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

12 Συμμετρία στην κβαντική μηχανική: ΙΙ. Θεωρία ομάδων 263

12.1 Βασικές έννοιες θεωρίας ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

12.2 Άλγεβρες Λι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

12.3 Αναπαραστάσεις ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

12.4 Κινηματικές συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

12.5 Δυναμικές συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

13 Σωμάτια στις τρεις διαστάσεις 283

13.1 Ο τελεστής Σρέντινγκερ στις τρεις διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

13.2 Σφαιρικά συμμετρικά δυναμικά: γενικές ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

13.3 Σφαιρικά συμμετρικά δυναμικά: ακριβείς λύσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

13.4 Αλληλεπίδραση σωματιδίων με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . 300

13.5 Συμμετρία βαθμίδας στην κβαντική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

14 Σωμάτια με σπιν 313

14.1 Η εισαγωγή του σπιν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

14.2 Η κβαντική περιγραφή του σπιν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

14.3 Αλληλεπίδραση σωματιδίων με σπιν με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο . . . . . . . . . . 317

14.4 Η συμμετρία της μη-σχετικιστικής φυσικής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

15 Συστήματα πολλών σωματιδίων 329

15.1 Ταυτοτικά σωμάτια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

15.2 Συστήματα μη αλληλεπιδρώντων ταυτοτικών σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . 334

15.3 Η ευστάθεια της ύλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

15.4 Χώροι Φοκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

15.5 Κβαντικά πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

16 Ενεργειακά φάσματα και δομή σύνθετων συστημάτων 349

16.1 Το υπό επίλυση πρόβλημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

16.2 Διαταραχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

16.3 Μέθοδος των μεταβολών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

16.4 Προσέγγιση μέσου πεδίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

16.5 Η θεωρία Τόμας-Φέρμι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

16.6 Η προσέγγιση Μπορν-Οπενχάιμερ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

17 Θεωρία σκέδασης 375

17.1 Σκέδαση από δυναμικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

17.2 Η προσέγγιση Μπορν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

17.3 Σκέδαση σε σφαιρικά συμμετρικά δυναμικά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

17.4 Γενική θεωρία σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Αʹ Ειδικές συναρτήσεις 405

Αʹ.1 Πολυώνυμα Ερμίτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Αʹ.2 Σφαιρικές αρμονικές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Αʹ.3 Γενικευμένα πολυώνυμα Λαγκέρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408